Линейная алгебра и ее применения

От редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава 1. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА 11
§ 1.1. Введение 11
§ 1.2. Пример применения метода исключения Гаусса 13
§ 1.3. Матричные обозначения и умножение матриц 17
§ 1.4. Эквивалентность метода исключения Гаусса и разложения на
треугольные матрицы
30
§ 1.5. Перестановки строк, обращения и ошибки округления 39
§ 1.6. Ленточные матрицы, симметрические матрицы и их применения 52
Обзорные упражнения 60
Глава 2. ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 62
§ 2.1. Векторные пространства и подпространства 62
§ 2.2. Решение m уравнений с n неизвестными 68
§ 2.3. Линейная независимость, базис и размерность 77
§ 2.4. Четыре основных подпространства 86
§ 2.5. Ортогональность векторов и подпролстранств 100
§ 2.6. Пары подпространств и произведения матриц 113
Обзорные упражнения 123
Глава 3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
125
§ 3.1. Скалярные произведения и транспонирование 125
§ 3.2. Проекции на подпространства и аппроксимации по методу
наименьших квадратов
134
§ 3.3. Ортогональные базисы, ортогональные матрицы и ортогонализация
Грама — Шмидта
146
§ 3.4. Псевдообращение и сингулярное разложение 164
§ 3.5. Взвешенные наименьшие квадраты 174
Обзорные упражнения 180
Глава 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 182
§ 4.1. Введение 182
§ 4.2. Свойства определителя 185
§ 4.3. Формулы для определителя 191
§ 4.4. Применения определителей 200
Обзорные упражнения 208
Глава 5. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ
210
§ 5.1. Введение 210
§ 5.2. Диагональная форма матрицы 221
§ 5.3. Разностные уравнения и степени Ak 227
§ 5.4. Дифференциальные уравнения и экспонента eAt 239
§ 5.5. Комплексный случай: эрмитовы и унитарные матрицы 251
§ 5.6. Преобразования подобия и треугольные формы 267
Обзорные упражнения 277
Глава 6. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ 279
§ 6.1. Максимумы, минимумы и седловые точки 279
§ 6.2. Критерии положительной определенности 286
§ 6.3. Полуопределенные и неопределенные матрицы. Обобщенная задача
на собственные значения Ax = λBx
295
§ 6.4. Принципы минимума и отношение Релея 304
§ 6.5. Принцип Релея — Ритца и метод конечных элементов 315
Глава 7. ВЫЧИСЛЕНИЯ С МАТРИЦАМИ 322
§ 7.1. Введение 322
§ 7.2. Норма и число обусловленности матрицы 324
§ 7 3. Вычисление собственных значений 332
§ 7.4. Итерационные методы решения системы Ax = b 343
Глава 8. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИГР 353
§ 8.1. Линейные неравенства 353
§ 8.2. Симплекс-метод 360
§ 8.3. Теория двойственности 374
§ 8.4. Сетевые модели 388
§ 8.5. Теория игр и теорема о минимаксе 395
Приложение А. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, МАТРИЦЫ И
ЗАМЕНЫ БАЗИСОВ
407
Приложение В. ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 416
Список литературы 423
Решения 424
Указатель 446